Exercice de physique N° 02

On considère le montage de la figure 1 composé :

- d’un générateur de tension de force électromotrice E.

- d’un condensateur de capacité C inconnue.

- d’un conducteur ohmique de résistance R = 20 Ω.

- d’une bobine d’inductance L = 0,35 H.

- d’un interrupteur à deux positions.

- d’un oscilloscope.

Partie A :  Circuit R, C

Le condensateur est initialement déchargé, à la date t = 0, on ferme l’interrupteuren position 1.

On enregistre la tension u_C ;

On obtient la courbe de la figure 2.

Graphe

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1°) Représenter (sur le schéma de la figure 1 de la feuille en annexe) par une flèche le sens de circulation du courant d’intensité i

dans le circuit ainsi que lestensions u_C et u_R aux bornes du condensateur et du conducteur ohmique afin de travailler en convention récepteur.

Figure 1 :

2°) Indiquer  sur le schéma de la  figure 1 (de la feuille en annexe) les connexionsà réaliser pour visualiser la tension u_C avec un oscilloscope.

Figure 1 : corrigé

3°) Quelle tension permet de connaître les variations de l’intensité du courant i enfonction du temps ?

Justifier votre réponse ?

- Tension qui permet de connaître les variations de l’intensité du courant i en fonction du temps 

- La tension u_R permet d’après la loi d’Ohm de connaître les variations de l’intensité i en fonction du temps :

- u_R = R i

- Il y a proportionnalité entre u_R et i.

4°) Déterminer la tension E aux bornes du générateur ainsi que les valeurs de l’intensité du courant au début et à la fin de la charge.

- Valeur de la tension E aux bornes du générateur

- Valeur de la tension u_C aux bornes du condensateur lorsque le régime permanent est atteint :

- La loi d’additivité des tensions permet d’écrire la relation suivante :

- E = u_R ⁺ u_C

- Lorsque le condensateur est chargé, l’intensité du courant dans le circuit est égale à zéro :

- u_R = 0   

- E = u_R ⁺ u_C = 2,0 V

- Valeur que l’on détermine grâce à la représentation graphique de u_C.

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- Valeurs de l’intensité du courant :

- Au début de la charge, la tension aux bornes du condensateur est nulle (il est déchargé) :

-  

- Lorsque le condensateur est chargé, l’intensité du courant s’annule dans le circuit :

- i_∞ = 0 A.

5°) Tracer l’allure de la courbe donnant l’évolution de l’intensité i du courant au cours du temps.

- Allure de la courbe :

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6°) On rappelle que la tension u_C atteint 63 % de sa valeur maximale au bout d’une durée t appelée constante de temps du circuit.

En déduire la valeur de t  puis la valeur de la capacité C du condensateur.

- Au bout de la durée τ,

-  

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- Graphiquement, on trouve : τ ≈ 24 μs.

- Valeur de la capacité C du condensateur :

- 

Partie B :   Circuit R,L,C

Le condensateur étant chargé, l’interrupteur est basculé en position 2.

On enregistre la tension u_C.

On obtient la courbe de la figure 3 de la feuille en annexe.

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1°) Comment appelle-t-on le type d’oscillations observées ?

- Types d’oscillations observées 

- On observe des oscillations libres amorties.

2°) Mesurer la pseudo-période T des oscillations.

- pseudo-période T des oscillations :

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- Graphiquement : T ≈ 4 ms.

3°) Calculer l’énergie E_C emmagasinée dans le condensateur à la date t₁ = 1,0 ms.

Quelle est à cet instant l’énergie E_L emmagasinée dans la bobine ainsi que l’énergie totale E_T du circuit ?

Cette dernière reste-t-elle constante ? Pourquoi ?

- Au temps t = 1,0 ms, la tension u_C aux bornes du condensateur est maximale :

- u_C ≈ 1,8 V.

- Valeur de l’énergie emmagasinée dans le condensateur :

-  

- Énergie totale dans le circuit au temps t = 1,0 s :

-  E_T = E_C  + E_L = E_C ≈ 1,94 × 10 ^{– 6} J

- L’énergie totale dans le circuit diminue au cours du temps à cause de la dissipation d’énergie par effet Joule dans les résistances du circuit.

 On supprime à présent du circuit le conducteur ohmique.

4°) Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C.

- La loi d’additivité des tensions dans le circuit permet d’obtenir la relation suivante :

- u_C  + u_L = 0  (1)

- Or

- On tire :

- On en déduit l’équation différentielle linéaire du deuxième ordre sans second membre :

-  (2)

5°) La solution de cette équation différentielle est de la forme u_C = A cos ( B.t + C ), déterminer les valeurs des constantes A , B et C .

- détermination des constantes : On calcule les dérivées successives :

-  et

- Conditions initiales : au temps t = 0 s, i = 0 A et u_C = E = 2 V.

- Au temps t = 0 s, i = 0 A, comme :

- – A.B.sin (C) = 0  

- sin (C) = 0

- C = 0  ou C = π

- Au temps t = 0 s, u_C (0) = E = 2,0 V,

- comme : u_C (0) = A . cos (C ) = E > 0  Þ

- C = 0 et A = E

- L’expression u_C = A cos ( B.t + C ) vérifie l’équation différentielle (2), en conséquence :

- 

- Cette équation doit être vérifiée ceci quel que soit t : il faut que :

-  

- Expression de la solution :

- 

6°) Déduire de la question précédente que l’intensité du courant électrique dans le circuit peut s’écrire :

- Intensité du courant électrique dans le circuit :

-  

7°) La période propre du circuit L,C est donnée par une des relations suivantes :

A l’aide d’une étude dimensionnelle choisir la bonne relation.

- Analyse dimensionnelle :

8°) En admettant que la pseudo-période T est identique à la période T₀( mesurée à la question 2 ),

en déduire la valeur de la capacité C du condensateur .

Comparer cette valeur  à celle trouvée à la question 6 de la partie A.

- Valeur de la capacité du condensateur :

- 

- écart relatif :

- 

- L’écart relatif entre les deux valeurs est faible.