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Exercice 1 : Une équation au
service des Sciences Physiques (6 points)
L'équation différentielle
permet de décrire un grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps:
intensité, tension, vitesse.
On rappelle que mathématiquement cette équation admet en
particulier 2 solutions :
|
PARTIE A: DANS LE DOMAINE DES SYSTÈMES ÉLECTRIQUES
Cette première partie tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 Ω ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance R = 12 Ω, alimenté par un générateur délivrant une tension continue E = 6,1 V. On réalise expérimentalement le circuit électrique ci-dessous.
L'évolution des grandeurs
variables, tension u
(t) et intensité
i (t), est obtenue par voie informatique. |
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I- Étude expérimentale
La courbe expérimentale donnant l'évolution de l'intensité
i (t), obtenue
par traitement informatique est donnée en ANNEXE, graphique 1.
1)- Quelle tension visualise-t-on à la voie
EA0 ? - À la voie EAO, on visualise la tension uAC, tension aux bornes de l’association
série de la bobine et du conducteur ohmique de résistancee
R.
2)- Quelle tension visualise-t-on à la voie2)- Quelle tension visualise-t-on à la voie EAl ?
Pourquoi peut-on en
déduire les variations de l'intensité i
(t). - À la voie EA1, on visualise la tension u BC, tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R.
-
En respectant l’orientation
du circuit, on peut écrire
u BC = R i
- On peut en déduire
les variations de i ceci à une constante
R près.
3)- Évaluer graphiquement la durée du régime transitoire. Aucune justification n'est demandée..
- Durée du régime transitoire : environ :
Δt
≈ 0,20 s
4)- La grandeur τ
étant la constante de temps associée au dipôle {bobine--conducteur
ohmique} : conducteur
ohmique} :
- Déterminer la valeur de τ
à l’aide du graphique avec la méthode de votre choix.
- Valeur de la
constante de temps τ
du circuit : - Méthode 1 : on trace la tangente à l’origine et l’asymptote horizontale. - La valeur de τ correspond à l’abscisse de leur point d’intersection :
-
τ
≈ 0,045 s
- Méthode 2 : on
prend l’abscisse de la courbe i =
f (t) pour
-
- τ
≈ 0,045 s (voir le graphique)
5)- Donner l'expression littérale de τ
en fonction des paramètres du circuit.
- Expression
littérale de τ :
-
6)- En déduire l'expression de l'inductance de la bobine et calculer sa
valeur.
- Inductance de la
bobine :
-
II- Modèle théorique 1)- En utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit,
établir l'équation différentielle vérifiée par
l'intensitéétablir l'équation différentielle vérifiée
par
l'intensité i
(t).
- En respectant
l’orientation du circuit et en utilisant la loi d’additivité des
tensions :
-
2)- Par identification avec l'équation
(1) vérifier que
- Équation (1) :
- On tire :
3)- En déduire l'équation horaire littérale i (t) en fonction de {r, R, L et E}.
Montrer que cette solution valide bien l'équation
établie en 2.1.
- Par analogie avec
la solution donnée pour l’équation (1) lorsque
β
≠
0,
-
- La solution est du
type :
-
- On peut vérifier
que cette relation est bien solution de l’équation différentielle :
-
- En remplaçant dans l’équation (a) :
-
4)- Montrer que cette équation horaire peut s'écrire :
- Sachant que
- D’où la relation :
III- Confrontation des résultats expérimentaux avec le modèle théorique.
On rappelle que
1)- On appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). Donner l'expression littérale de I. Calculer sa valeur.
Est-elle en accord avec la valeur expérimentale
obtenue ?
- Expression
littérale de I :
- Lorsque le régime
permanent est atteint :
-
- Valeur de
I :
-
- Valeur
expérimentale : I ≈
- Ce résultat est en
accord avec la valeur expérimentale.
2)- Donner l'expression littérale de i (t) à la date t = τ en fonction de I.
Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec l'expérience ?
-
- Cette valeur est
en accord avec l’expérience.
- Avec la courbe, on
trouve i (τ)
≈
0,16 A |
PARTIE B : DANS LE DOMAINE MÉCANIQUE.
L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique ρ fluide a été exploitée grâce à un logiciel. Les capacités du logiciel permettent ensuite de faire tracer l'évolution de la vitesse du centre d'inertie en fonction du temps, v (t).
La courbe expérimentale et modélisée est proposée en ANNEXE,
graphique 2.
I- Exploitation de l'équation v (t) modélisée.
L'équation mathématique associée à la courbe modélisée, vérifie
Cette équation est identifiable à l'équation (2).
1)- Déterminer la
valeur de
α
et du rapport
- Valeur du
rapport - On identifie avec la relation suivante :
-
-
- Unité du rapport
2)- Montrer que
l'équation différentielle ayant l'équation
(3) pour solution
vérifie
l'écriture numérique
- Vérification :
-
Par analogie avec les relations suivantes :
-
- On en déduit les
valeurs de :
3)- Déterminer la valeur de la vitesse limite à l’aide de cette équation numérique. Justifier. Le résultat est-il en accord avec la valeur expérimentale ?
- Valeur de la
vitesse limite à l’aide de cette équation numérique :
- Lorsque la vitesse
limite est atteinte,
-
- Valeur
expérimentale : à l’aide de la courbe, on trouve :
- La valeur est en
accord avec la valeur expérimentale.
II- Étude du phénomène physique. 1)- Faire l'inventaire des forces appliquées à la bille. Les représenter sur un schéma, en sens et direction appliquée au centre d'inertie G de la bille.
- Système : la balle - Réf - Bilan des forces :
- le poids
- Référentiel :
Terrestre supposé galiléen.
2)- Appliquer au système bille la seconde loi de Newton.
III- Exploitation de la modélisation La bille ayant servi à réaliser l'étude est une bille d'acier de masse m = 32 g et de volume V.
L'accélération de la
pesanteur est g =
Les forces de frottement qui s'appliquent à la bille ont pour expression
1)- En utilisant un axe vertical (Ox) orienté vers le bas, montrer que l'équation différentielle relative à la grandeur variable v (t) vérifie :
- Équation différentielle du mouvement :
- On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation
suivante :
-
- En posant :
vx = v, il vient :
2)- En
déduire l'expression littérale des coefficients
α
et β de
l'équation (1).
- À l’aide de
l’équation (1), on peut identifier les coefficients
α
et
β :
-
- 3)- Quelle serait la valeur du coefficient β si la poussée d'Archimède était nulle ? En utilisant l'équation établie en 1.2., justifier que cette force doit être prise en compte. - Valeur du coefficient β si la poussée d'Archimède était nulle :
-
β
=
g =
- |
Graphique 1 :
Graphique 2 :