EXERCICE 3 : RADARS... ET EFFET DOPPLER (4 points)

L'effet Doppler fut présenté par Christian Doppler en 1842 pour les ondes sonores puis par Hippolyte Fizeau pour les oncles électromagnétiques en 1848. Il a aujourd'hui de multiples applications.   Un radar de contrôle routier est un instrument servant à mesurer la vitesse des véhicules circulant sur la voie publique à l'aide d'ondes radar. Le radar émet une onde continue qui est réfléchie par toute cible se trouvant dans la direction pointée. Par effet Doppler, cette onde réfléchie possède une fréquence légèrement différente de celle émise : plus grande fréquence pour les véhicules s'approchant du radar et plus petite pour ceux s'en éloignant. En mesurant la différence de fréquence entre l’onde émise et celle réfléchie, on peut calculer la vitesse de la «cible». Mais les radars Doppler sont utilisés dans d'autres domaines… En météorologie, le radar Doppler permet d'analyser la vitesse et le mouvement des perturbations et de fournir des prévisions de grêle, de pluies abondantes, de neige ou de tempêtes. En imagerie médicale, le radar Doppler permet d'étudier le mouvement des fluides biologiques. Une sonde émet des ondes ultrasonores et ce sont les  globules rouges qui font office d'obstacles et les réfléchissent. L'analyse de la variation de la fréquence des ondes réfléchies reçues par cette même sonde permet ainsi de déterminer la vitesse du sang dans les vaisseaux. D'après le site : www.over-blog.com

Cet exercice propose d'étudier le principe de l'effet Doppler sonore. Pour simplifier cette approche, la réflexion de l'onde sur l'obstacle ne sera pas prise en compte. Par ailleurs, on rappelle que plus la fréquence est élevée, plus le son est aigu. 1. Un véhicule muni d'une sirène est immobile. La sirène retentit et émet un son de fréquence f = 680 Hz. Le son émis à la date t = 0 se propage dans l'air à la vitesse c = 340 m . s-1 à partir de la source S. On note λ la longueur d'onde correspondante. La figure 1 ci-dessous représente le front d'onde à la date t = 4 T (T étant la période temporelle de l'onde sonore.)   Figure 1   Répondre par «vrai» ou «faux» aux sept affirmations suivantes en justifiant son choix. 1.1.  Une onde sonore est une onde transversale. -  Faux : -  L’onde sonore : -  Le son est une onde longitudinale : -  la direction de propagation est parallèle à la direction de la perturbation. -  La propagation d’un son nécessite un milieu matériel. -  Le son ne se propage pas dans le vide. -  Le son transporte de l’énergie.   -  Le son est une onde progressive périodique sinusoïdale. -  Il possède une périodicité temporelle et une périodicité spatiale. -  Le son est une onde progressive périodique longitudinale. -  Une couche d’air subit un petit déplacement autour de sa position d’équilibre. -  Ce petit déplacement se transmet aux couches voisines. -  Il se crée ainsi des zones de compression et de dépression. 1.2.  Une onde mécanique se propage dans un milieu matériel avec transport de matière. -  Faux : -  Une onde réalise un transfert d’énergie mécanique sans transport de matière. -  Pour produire la perturbation, il faut fournir de l’énergie. -  La perturbation se propage. -  Chaque point du milieu matériel revient à sa position initiale après le passage de la perturbation. -  De l’énergie mécanique a été transférée du point S, la source au point M du milieu matériel. -  Il n’y a pas de transport de matière. 1.3.  La longueur d'onde est indépendante du milieu de propagation. -  Faux : -  La longueur d'onde dépend du milieu de propagation. -  La fréquence est indépendante du milieu de propagation. -  Relation fondamentale : λ = c . T   (c : célérité de l’onde) -  Comme la célérité d’une onde mécanique dépend du milieu de propagation et que la fréquence (ou la période) ne dépend pas du milieu de propagation, alors la longueur d’onde λ dépend du milieu de propagation. -  C’est une caractéristique du milieu de propagation. -  Elle ne dépend pas de l’amplitude de la déformation. 1.4.  Un point M distant du point S d'une longueur égale à 51,0 m du milieu reproduit le mouvement de la source S avec un retard Δt =1,5 s. -  Faux   -  Calcul du retard : -    -  Le retard est de 0,15 s et non de 1,5 s. 1.5.  Le front d'onde a parcouru d = 40.0 m à la date t = 3T.   -  Faux : -  La sirène retentit et émet un son de fréquence f = 680 Hz -  Valeur de la période : -    -  Distance parcourue par l’onde : -  d = c . Δt -  d ≈ 340 × 3 × 1,47 × 10 – 3 -  d ≈ 1,5 m -  Le front de l’onde à parcouru 1,5 m. 1.6.  Deux points situés à la distance d’ = 55,0 m l'un de l'autre dans la même direction de propagation vibrent en phase. -  Vrai : -  Deux points séparés par une distance multiple de la longueur d’onde vibrent en phase : -  En conséquence d = k . λ avec k € N -  Valeur de la longueur d’onde du signal : -  λ = c . T -  -  D’autre part : -    -  k est bien un entier naturel. 1.7.  L'onde se réfléchit sur un obstacle situé à la distance d" = 680 m de la source. L'écho de l'onde revient à la source 2,0 s après l'émission du signal. -  Faux : -  Distance parcourue par l’onde : c = 340 m / s -  L’onde fait l’aller-retour : d = 2 d"= 2 × 680 m -  Pour parcourir cette distance, l’onde met 4,0 s et non 2,0 s. 2. Le véhicule se déplace maintenant vers la droite à la vitesse v inférieure à c. La figure 2 donnée ci-après représente le front de l'onde sonore à la date t = 4 T.   Figure 2 2.1.  Donner la définition d'un milieu dispersif. L'air est-il un milieu dispersif pour les ondes sonores ? -  Milieu dispersif : -  Un milieu est dispersif si la célérité de l’onde dans le milieu dépend de la fréquence imposée par la source. -  L’air n’est pas dispersif pour les ondes sonores habituelles. -  Tous les sons se propagent à la même vitesse dans l’air. -  Le roulement du tonnerre provient du fait que l’air est un milieu dispersif pour des ondes sonores de grande amplitude : -  les sons graves dans ce cas se propagent moins vite que les sons aigus. 2.2.  Le véhicule se rapproche d'un observateur immobile. Pendant l'intervalle de temps T, le son parcourt la distance λ. Pendant ce temps, le véhicule parcourt la distance d = v. T. La longueur d'onde λ' perçue par l'observateur à droite de la source S a donc l'expression suivante : λ' = λ – v.T    (1) 2.2.1. Rappeler la relation générale liant la vitesse de propagation, la longueur d'onde et la fréquence. -  Relation générale liant la vitesse de propagation, la longueur d'onde et la fréquence : -  , la grandeur c représente la célérité de l’onde. -  La longueur d’onde λ est la distance parcourue par l’onde en une période T. 2.2.2. En déduire que la relation (1) permet d'écrire  (f ’ étant la fréquence sonore perçue par l'observateur). -  La relation (1) : -  De la relation suivante : λ' = λ – v.T    (1) -  On tire : -    2.2.3. Le son perçu est-il plus grave ou plus aigu que le son d'origine ? Justifier. -  Son perçu plus grave ou plus aigu : -  D’après la relation :  -  f’ > f car -  En conséquence le son perçu est plus aigu. 2.3.  Dans un deuxième temps, le véhicule s'éloigne de l'observateur à la même vitesse v. 2.3.1. Donner, sans démonstration, les expressions de la nouvelle longueur d'onde λ" et de la nouvelle fréquence f " perçues par l'observateur en fonction de f, v et c. -  Expressions de la nouvelle longueur d'onde λ" et de la nouvelle fréquence f " perçues par l'observateur en fonction de f, v et c. -  Expression de la nouvelle longueur d’onde λ" : -  Le véhicule s’éloigne : λ’' = λ + v.T    (2) -  Expression de la fréquence f " : -  Par analogie : -  2.3.2. Le son perçu est-il plus grave ou plus aigu que le son d'origine ? Justifier. -  Son perçu plus grave ou plus aigu : -  D’après la relation :  -  f’’ < f car -  En conséquence le son perçu est plus grave. 2.4.  Exprimer, puis estimer en km . h –1, en arrondissant les valeurs à des nombres entiers, la vitesse du véhicule qui se rapproche de l'observateur sachant que ce dernier perçoit alors un son de fréquence f ' = 716 Hz. -  Vitesse du véhicule : -  On connait la valeur de la fréquence : -  Expression de la vitesse du véhicule : -    -  Valeur de la vitesse du véhicule : -  -  v ≈ 62 km / h