Phys. N° 05 : Principe de L'inertie. Exercices.

La résistance de l’air qui s’applique à un parachutiste de masse, m = 120 kg, équipement compris,

est proportionnelle au carré de la vitesse : f = k . v².

Après l’ouverture du parachute, il atteint rapidement une vitesse limite

a)- Quelle est la nature du mouvement du parachutiste après qu’il ait atteint sa vitesse limite ?

b)- Sachant que sa vitesse limite vaut 8,0 m / s, calculer la valeur de la force f

et en déduire la valeur du coefficient k. Quelle est l’unité de k dans le S.I ?

Que se passe-t-il si le coefficient k devient plus petit ?

(g = 10 N / kg).

Solution :

a)- Un saut en parachute.

Lorsqu'il atteint sa vitesse limite, v = cte.

- En considérant que l'on néglige les effets latéraux du vent, on peut considérer que la chute est verticale.

- Le mouvement du parachutiste est donc rectiligne uniforme.

- Le parachutiste est soumis à deux forces : son poids et la force due à l’air.

- D'après la réciproque du principe de l'inertie, dans un référentiel galiléen, un système soumis à des forces

dont les effets se compensent est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme :

- en conséquence :

b)- Les deux forces ont même direction, des sens opposés et même valeur :

- P = f = m . g

- f ≈ 120 × 10

- f ≈ 1,2 × 10³ N

- D'autre part

- f = k . v²

- k = f / v²

- k ≈ 1,2 × 10³ / 8²

- k ≈ 19 N.m^–2.s^–2

- Si la valeur de k diminue, la vitesse limite augmente et la chute est plus rapide.

Un skieur de masse m, remonte à téléski une pente de 25 % supposée rectiligne.

La perche à laquelle il est accroché fait un angle α = 45 ° avec la pente.

Le mouvement du skieur est une translation rectiligne uniforme.

On néglige la résistance de l'air.

a)- Faire le schéma et représenter les forces appliquées au skieur.

- Dans un premier temps, on néglige les frottements entre la neige et les skis.

- Donner les caractéristiques de toutes les forces appliquées au skieur (direction, sens et valeur).

- On ne néglige plus la force de frottement due aux frottements solides.

- Elle est caractérisée par un coefficient de frottement dynamique μ tel que :

R_T = μ. R_N ;

R_T et R_N

désignent les valeurs des composantes tangentielle et normale de la réaction de la neige sur les skis.

Déterminer les caractéristiques de toutes les forces appliquées au skieur.

Est-il légitime de négliger les forces de frottement ?

b)- Le skieur descend maintenant, une pente de 35 % tout "schuss".

On assimile la résistance de l'air à une force unique opposée au mouvement et proportionnelle au carré de la vitesse du skieur :

f = k.v².

On néglige les forces de frottements solides dues au contact des skis sur la neige devant la résistance de l'air.

- Montrer qu'au départ le mouvement est accéléré.

- Montrer qu'au bout d'un certain temps, le mouvement devient rectiligne uniforme.

c)- Le skieur a atteint son régime permanent.

Calculer la valeur v de la vitesse. Que doit-il faire s'il veut aller encore plus vite ?

- Données :

m = 90 kg ; μ = 0,05 ; k = 0,73 N.m⁻².s²

et g = 10 N / kg.

Solution.

a)- Schéma et représentation des forces.

- Caractéristiques de chacune des forces (frottements négligeables).

- On néglige les forces de frottements dans un premier temps.

- En conséquence, on ne tient pas compte de le force .

- Pour déterminer les caractéristiques de chacune des forces, il faut utiliser le principe de l'inertie

et surtout choisir un repère lié au référentiel qui simplifie le problème.

- D'après les données de l'exercice, on utilise le repère .

- L'axe x'x direction du plan incliné et sens du déplacement et y'y normale au plan incliné et orienté de bas en haut.

- On recherche l'expression littérale des coordonnées de chacun des vecteurs dans le repère d'étude.

Il s'agit d'une étape délicate.

- On travaille avec les cordonnées de vecteurs forces qui sont des grandeurs algébriques.

- En conséquence, on projette les vecteurs forces sur chacun des axes.

- Remarque : on peut faire une construction graphique pour retrouver les valeurs de chacune des forces.

- La méthode est moins précise.

- Application numérique :

- Caractéristiques de chacune des forces (frottements non négligeables).

- L'exercice est le même, mais maintenant, on tient compte de la force de frottement.

- Ici il faut utiliser les composantes R_T et R_N comme cela est indiqué dans l'énoncé.

- On peut faire un nouveau schéma tenant compte des notations de l'énoncé.

- Le mouvement du skieur étant rectiligne uniforme, on utilise la réciproque du principe de l'inertie (énoncé).

- On recherche l'expression littérale des coordonnées de chacun des vecteurs dans le repère d'étude.

Il s'agit d'une étape délicate.

- On travaille avec les cordonnées de vecteurs forces qui sont des grandeurs algébriques.

- En conséquence, on projette les vecteurs forces sur chacun des axes.

- Puis, il faut déterminer les expressions littérales qui permettent de calculer T, R_N et R_T.

- On remplace R_T par sa valeur en fonction de R_N dans l'équation (a).

- par combinaison linéaire de (a') et (b) , on obtient l'expression :

- On en déduit la valeur de R_N :

- Et enfin :

- Si le coefficient de frottement dynamique est faible, on peut négliger les forces de frottement.

- Dans le cas d'un skieur se déplaçant sur la neige damée, on peut négliger les frottements solides :

- .

- On peut faire une construction graphique pour vérifier.

b)- Nature du mouvement du skieur au départ.

- Au départ, étant donné que l'on néglige les frottements solides, le skieur est soumis à son poids (vertical)

et à la réaction du support (perpendiculaire au support car les frottements sont négligeables).

- La force f = k.v²est nulle car le skieur au départ est à l'arrêt.

- En conséquence :.

- Le mouvement du skieur est accéléré.

- Le mouvement devient rectiligne uniforme.

- Le mouvement du skieur est accéléré. Mais du fait qu'il prend de la vitesse,la force f = k.v² augmente.

- Il arrive un moment ou .

- Le principe de l'inertie permet d'affirmer que le skieur est animé d'un mouvement rectiligne uniforme

puisqu'il est soumis à des forces dont les effets se compensent.

c)- Valeur de la vitesse.

- Pour aller plus vite, il doit se mettre en position de recherche de vitesse pour faire en sorte que la valeur de k diminue.

- Si k diminue, v augmente.