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Les Lois de Newton
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I- Principe de l'Inertie (1ière Loi de Newton).
Dans un référentiel
Galiléen, lorsqu'un solide est isolé ou
pseudo-isolé
, son centre d'inertie G est :
- Soit au repos, si G est initialement
immobile :
- Soit animé d'un mouvement
rectiligne uniforme :
- Remarque : ce principe ne régit que le mouvement du centre d'inertie G d'un solide (le mouvement d'ensemble) et non le mouvement propre du solide.
2)- Cas d'un solide non isolé.
- Exemple : considérons un mobile sur un plan incliné en l'absence de frottements.
- Schéma :
-
au support et
verticale du lieu. En conséquence :
et
.
II- Vecteur vitesse.
1)- Rappels de première et compléments.
Pour déterminer la valeur de la vitesse instantanée au temps t, on calcule la vitesse moyenne pendant un intervalle de temps très court encadrant l'instant considéré.
- Caractéristiques du vecteur vitesse instantanée au temps t3.
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- Point d'application :
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- Direction : tangente à la trajectoire au point considéré : on trace la parallèle à la droite
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- Sens : celui du mouvement |
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- Valeur :
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- longueur du représentant : ℓv3 = (longueur en cm) |
- C'était une approche expérimentale qui permettait d'atteindre la valeur de la vitesse instantanée et de tracer le vecteur vitesse instantanée.
- La relation vectorielle approchée était de la forme :
-
(1)
- Pour simplifier l'étude, on considère le mouvement d'un objet sur une table plane inclinée ou pas.
On étudie le mouvement de l'objet par rapport à la table (Référentiel).
À ce
référentiel, on associe le repère :
- On écrit la relation (1), en utilisant l'origine des espaces O.
-
(1)
- Le vecteur vitesse traduit les variations du vecteur position par rapport au temps.
- Définition du vecteur vitesse :
-
- Le vecteur vitesse d'un point mobile M, à l'instant t dans un référentiel R est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position de ce point.
- Notation simplifiée :
- En conséquence, le vecteur vitesse décrit les variations du vecteur position.
- Sa direction est donnée par la tangente à la courbe au point considéré. Il dépend du référentiel d'étude.
2)- Coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse.
- On travaille dans le repère
.
Le point M (x, y, z) est repéré grâce à ses coordonnées :
sont
des vecteurs constants.
- Pour connaître les coordonnées du vecteur vitesse, on prend la dérivé du vecteur position par rapport au temps :
- avec
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par rapport au temps |
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3)- Coordonnées du vecteur vitesse dans le repère de FRENET.
En présence d'un mouvement curviligne et surtout d'un mouvement circulaire, il est commode de travailler avec le repère de FRENET.
Considérons une trajectoire curviligne quelconque :
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La trajectoire étant connue, on choisit une origine des espaces sur la trajectoire, le point Ω et
une orientation positive
celle du mouvement. En conséquence chaque point de la courbe est repéré par son abscisse curviligne s = ΩM Considérons deux vecteurs unitaires :
au point considéré et orienté
dans le sens
et orienté vers le centre de courbure de la courbe qui représente la trajectoire. |
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Les coordonnées du vecteur vitesse dans ce repère sont :
- Suivant l'orientation choisie, signe + ou -.
- Si le mouvement a lieu dans le sens positif choisi, alors :
.
- Si
s =
ΩM
alors :
avec
grandeur algébrique :
Le vecteur accélération est un vecteur qui rend compte des variations du vecteur vitesse.
Il traduit les variations du vecteur vitesse.
Par définition, on appelle vecteur accélération du point M à la date t, dans un référentiel R, le vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur vitesse du point M à cet instant.
On écrit :
notation simplifiée :
- On travaille dans le repère
.
Le point M (x, y, z) est repéré grâce à ses coordonnées :
,
sont des vecteurs unitaires constants.
- Pour connaître les coordonnées du vecteur accélération, on dérive le vecteur vitesse par rapport au temps :
- avec
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4)- Coordonnées du vecteur accélération dans le repère de FRENET.
Dans la base de FRENET ou dans le repère de FRENET, l'expression du vecteur vitesse est la suivante :
-
- v
représente la valeur de la vitesse et
est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point
considéré.
Ce vecteur change de direction au cours du temps.
- Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver cette expression par rapport au temps.
Avec l'orientation choisie :
-
(1) ceci se dérive comme un produit :
- En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :
- Accélération tangentielle
qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse.
- Accélération normale
qui est liée à la variation de la direction du
vecteur vitesse.
- Relation :
- À ce niveau, on peut donner une petite explication :
5)- Cas des mouvements accélérés, retardés, uniformes.
- Cas particuliers importants : le mouvement rectiligne uniforme, le mouvement rectiligne varié, le mouvement circulaire uniforme.
Quelles sont les caractéristiques du vecteur accélération de ces mouvements ?
Que peut-on dire de l'accélération tangentielle et de l'accélération normale ?
- Si
au cours du mouvement, celui-ci est
accéléré.
- Si
au cours du mouvement, celui-ci est retardé.
- Si
le mouvement est uniforme.
- Remarque : le produit scalaire
permet de connaître si un mouvement est retardé ou
accéléré.
-
- si
- si
- si
- Point mobile animé d'un mouvement rectiligne uniforme :
- la trajectoire est un segment de droite et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.
- On peut repérer la position du point mobile sur un axe x'Ox.
- Le vecteur position et le vecteur vitesse ont même direction et même sens.
- Point mobile animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié :
- La trajectoire est un segment de droite et le vecteur accélération est un vecteur constant au cours du temps.
- l'accélération tangentielle et accélération normale :
- la trajectoire est rectiligne.
- le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération ont même direction.
- v0
et x0 sont liés aux conditions initiales.
- Point mobile animé d'un mouvement rectiligne uniforme :
- La trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.
- Il faut utiliser le repère de Frenet
- l'accélération tangentielle et accélération normale :
IV- Théorème du centre d'Inertie (2ième Loi de Newton).
1)- Approche expérimentale (TP physique N° 3 et 4).
2)- Théorème du centre d'inertie.
Dans un référentiel Galiléen, la somme des vecteurs forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d'inertie.
On écrit :
(2)
- Le théorème du centre d'inertie permet de déterminer le mouvement du centre d'inertie du solide, à partir de la connaissance des forces qui agissent.
3)- Équations horaires du mouvement.
Ce sont les relations qui donnent la position du centre d'inertie à chaque instant.
L'étude se fait toujours suivant le même protocole.
- On réalise une étude dynamique :
- Choix du système
- Bilan des forces extérieures au système (représentation avec un schéma)
- Choix du repère lié au référentiel : le plus souvent, on travaille avec un référentiel Terrestre considéré comme Galiléen.
- On applique le théorème du centre d'inertie :
- On finit par une étude cinématique.
On part de
et il faut arriver à
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Il découle de ceci que,
comme
est la dérivée de la
vitesse par rapport au temps,
vx est une primitive de ax ,
vy est une primitive de ay
vz est une primitive de az .
De même,
x est une primitive de vx ,
y est une primitive de vy ,
z est une primitive de vz .
- Exemple : Plaçons-nous dans le cas suivant :
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en conséquence |
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- vx est une primitive de ax .
La primitive est connue à une constante près.
Cette constante que l'on note vox est liée aux conditions initiales.
Elle représente la composante de la vitesse du mobile suivant l'axe x'Ox au temps t = 0.
- En conséquence, les constantes qui apparaissent sont liées aux conditions initiales et parfaitement connues à partir des conditions initiales.
- Si au temps t = 0, le vecteur vitesse du mobile est un vecteur nul :
- De même lors du passage du vecteur vitesse au vecteur position, il apparaît des constantes qui sont liées à la position du centre d'inertie du mobile au temps t = 0.
- Coordonnées du point G au temps
:
- Si au temps t = 0 s, la position du centre d’inertie du solide coïncide avec l’origine des espaces :
Alors les constantes qui apparaissent sont connues :
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V- Principe de l'interaction (3ième Loi de Newton).
Considérons deux corps A et B.
A est situé au point O et B est situé au point P.
Lorsqu'un corps A exerce sur un corps
B une action mécanique représentée par le
vecteur force
localisée en P
Le corps B exerce sur un corps A une
action mécanique représentée par le vecteur
force
localisée en O.
Les forces
et
ont
même support et
- Remarque : cette propriété est toujours vraie, que les corps soient au repos ou en mouvement.
Considérons une voiture (traction avant) qui tracte une caravane.
- Faire le bilan des forces extérieures agissant :
- Sur le système : S1
= { voiture }
- Sur le système S2
= { caravane } ,
- Sur le système :S3
= {voiture, caravane }
.de masse m = m1
+ m2
et de centre d'inertie G.
- Écrire le théorème du centre d'inertie dans chaque cas :
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-
-
1)- Exercice 13 page 72.
2)- Exercice 15 page72.
3)- Exercice 23 page74.
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