Le phosphore  est radioactif.

Il se désintègre en émettant un électron.

Sa durée de demi-vie est égale à t_½ = 14,3 jours.

1. La désintégration forme du soufre S.

1.1. établir l’équation de désintégration. Justifier votre réponse.

1.2. Indiquer le type de radioactivité correspondant à cette réaction de désintégration.

2. On veut étudier l’évolution du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon au cours du temps. 

On fait l’hypothèse suivante : on considère que la variation  ΔN (t) du nombre de noyaux radioactifs,

pendant l’intervalle de temps Δt, a pour expression :

  ΔN (t) = – λ . N (t) . Δt

-  N (t) représente le nombre de noyaux radioactifs au début de l’intervalle de temps considéré.

-  Le nombre de noyaux radioactifs initial de l’échantillon est ; 

-  N (0) = 1,00 × 10 ²²  (1)

-  Rappel : Relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie t_½  :   

2.1. Calculer la valeur de la constante radioactive λ en utilisant les unités du Système International.

2.2. Calculer le nombre N₁ de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours en utilisant l’expression (1).

Le phosphore  est radioactif.

Il se désintègre en émettant un électron.

Sa durée de demi-vie est égale à t_½ = 14,3 jours.

1. La désintégration forme du soufre S.

1.1. établir l’équation de désintégration. Justifier votre réponse.

-  Au cours de la désintégration, il y a conservation :

-  Du nombre de nucléons et conservation de la charge globale  

1.2. Indiquer le type de radioactivité correspondant à cette réaction de désintégration.

-  Il s’agit d’une émission β^–  . Le phosphore 32 possède trop de neutrons. 

-  Un neutron du noyau se transforme en proton et il y a émission  d’un électron.

2. On veut étudier l’évolution du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon au cours du temps. 

On fait l’hypothèse suivante : on considère que la variation  ΔN (t) du nombre de noyaux radioactifs,

pendant l’intervalle de temps Δt, a pour expression :

  ΔN (t) = – λ . N (t) . Δt

-  N (t) représente le nombre de noyaux radioactifs au début de l’intervalle de temps considéré.

-  Le nombre de noyaux radioactifs initial de l’échantillon est ; 

-  N (0) = 1,00 × 10 ²²  (1)

-  Rappel : Relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie t_½  :   

2.1. Calculer la valeur de la constante radioactive λ en utilisant les unités du Système International.

-  Valeur de la constante radioactive :

-  

2.2. Calculer le nombre N₁ de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours en utilisant l’expression (1).

-  On utilise l’expression donnée dans l’énoncé :

-  ΔN (t) = - λ . N (t) . Δt  

-  Qui devient :  

-  ΔN (4) = – λ . N (4) . Δt

-  On considère que pendant la durée Δt qui est courte devant la durée de demi-vie,

le nombre de noyaux radioactifs n'a pratiquement pas varié :

-  En conséquence :

-  N (t) = N (4) ≈ N (0) 

-  Nombre N₁ de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours

-  N₁ = | ΔN (t) | = | – λ . N (t) . Δt |

-  N₁ = | ΔN (4) | = | – λ . N (4) . Δt |

-  N₁ ≈ | – λ . N (0) . Δt |

-  

2.3. Calculer le nombre N (4) de noyaux radioactifs qui restent dans l’échantillon après 4 jours.

-  Nombre N(4) de noyaux radioactifs restant dans l’échantillon après 4 jours.  

-  N (4) =N (0) – N ₁ 

-  N (4) ≈ 1,00 × 10 ²² – 1,94 × 10 ²¹

-  N (4) ≈ 8,06 × 10 ²¹

3.  On renouvelle le calcul précédent au cours du temps en gardant toujours comme intervalle de temps Δt = 4 jours.

On obtient le tableau suivant :

3.1. Compléter les cases vides du tableau en justifiant les calculs.

-  N (4) ≈ 8,06 × 10 ²¹

-  Pour compléter la case suivante, on répète le calcul effectué précédemment :

-  

3.2. Sur un graphique, représenter l’évolution du nombre N de noyaux radioactifs en fonction du temps t.

3.3. Déterminer à l’aide du graphique la valeur de la constante de temps τ. Justifier votre réponse.

-  La constante de temps, notée τ est l’inverse de la constante radioactive.

-  On peut obtenir la valeur de la constante de temps τ à partir de la loi de décroissance.

-  Si l’on se place au temps t = 0 :  

- 

-  

-  En conséquence, la tangente à la courbe N = f (t)  à l’instant initial rencontre l’axe  des abscisses à la date τ.

-  La lecture graphique donne :  τ ≈ 20,6 jours

4.  Il faut garder un peu d’énergie pour la fin.  On donne :

-  La masse atomique du phosphore 32 : m_P = 5,35631 × 10 ^{– 26}  kg

-  La masse atomique du soufre formé : m_S = 5,35608 × 10 ^{– 26}  kg

-  La masse d’un électron  : m_e = 9,10939 × 10 ^{– 31}  kg

-  La célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 × 10 ⁸  m / s.

4.1.   Exprimer la variation de masse Δm  pour une désintégration.

-  Variation de masse pour une désintégration :

-  État initial : l’atome de phosphore immobile m_P

-  État final :  atome de soufre et électron : m_S et m_e

-  Variation de masse : Δm = (m_S + m_e) – m_P

4.2. Déterminer la valeur de la perte de masse m de l’échantillon étudié au bout de 44 jours.

-  Nombre de désintégrations :

-  N = N (0) – N (44)

-  Valeur de la perte de masse :

-  m = N . Δm

-  m = [ N (0) – N (44) ] . [ (m _S + m _e) – m _P ]

-  m = – [1,00 × 10 ²² – 0,93 × 10 ²¹] × [5,35631 × 10 ^{– 26} – 5,35608 × 10 ^{– 26} – 9,10939 × 10 ^{– 31}]

-  m ≈ –  1,26 × 10 ^{– 8} kg

4.3. En déduire la valeur de l’énergie libérée E_lib en 44 jours.

-  Énergie libérée en 44 jours

-  E_lib = | m | c² 

-  E_lib ≈ 1,26 x 10 ^{– 8} × ( 3,00 × 10 ⁸)² 

-  E_lib ≈ 1,13 × 10 ⁹ J