SAPIAND a-t-il massacré ANDER ? L’enquête n’en est qu’à ses débuts !

Il semble que SAPIAND et ANDER aient bien vécu au même endroit.

Y étaient-ils en même temps ?

Pour répondre à cette question, on utilise la méthode de datation au carbone 14.

I – Étude du carbone 14

Dans la nature le carbone existe sous forme de deux noyaux isotopes, et .

Dans la haute atmosphère, un neutron formé par l’action de rayons cosmiques bombarde un noyau d’azote 14 ( )

qui se transforme en carbone 14 ( ) radioactif β ^– avec émission d’une autre particule.

1. Écrire l’équation de la réaction nucléaire correspondant à la formation de

 carbone 14 dans la haute atmosphère. Identifier la particule émise. Justifier.

2. Écrire l’équation de la désintégration β ^– du carbone 14.

3. Le temps de demi-vie t_1/2 du carbone 14 est de 5570 ans.

Qu’appelle-t-on temps de demi-vie ?

4. On appelle N₀ le nombre de noyaux radioactifs dans un échantillon à un instant pris comme origine des temps.

a) Exprimer en fonction de N₀ le nombre de noyaux N de carbone 14 restant aux instants t_1/2, 2 t_1/2, 3 t_1/2, 4 t_1/2 et 5 t_1/2.

b) Reporter sur une feuille de papier millimétré le nombre N de noyaux radioactifs aux instants précédents.

Tracer sommairement l’allure de la courbe traduisant l’évolution du nombre de  noyaux radioactifs en fonction du temps.

            Échelle : en abscisse t_1/2 est représenté par 2 cm ;

en ordonnée N₀ est représenté par 10 cm.

5. L’équation correspondant à la représentation graphique de la question 4b est  de la forme :

N(t) = N₀ e ^{– λ.t} (1)

a)  Établir la relation entre le temps de demi-vie et la constante radioactive λ.

b)  Calculer la valeur de la constante radioactive.

II – Application à la datation :

Tant que la matière est vivante, les échanges de l’organisme animal ou végétal impliquant le dioxyde de carbone atmosphérique font que le rapport N () / N () est constant.

A la mort de l’être vivant, la fin de ces échanges entraîne la décroissance de ce rapport.

L’activité d’un échantillon A (t) est le nombre de désintégrations qu’il produit par unité de temps soit

D’autre part, cette activité A (t) est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs présents N (t) soit A(t) = λ . N(t).

1.   

a) Établir l’équation différentielle donnant le nombre de noyaux N(t) en fonction du temps.

b)  Vérifier que l’expression de N(t) donnée par la relation (1) est solution de cette équation différentielle.

2. Les résultats de l’analyse des ossements d’ANDER et de SAPIAND par la méthode du carbone 14 sont consignés dans le tableau suivant

a)  A partir du résultat concernant ANDER, calculer l’âge de ses ossements.

b)  Les données fournies par l’agence de presse en juin sont-elles en accord avec ce résultat ?

c)  En utilisant la dernière ligne du tableau, répondre à la question posée par le journaliste : SAPIAND a-t-il pu massacrer ANDER ?

3. Une recherche sur Internet a donné l’information suivante à propos du carbone 14 :

" Pour obtenir une quinzaine de désintégrations par minute avec un matériau récent, il faut 1 g de carbone,

c’est-à-dire 10 g de bois, de tissu ou de cuir, 20 g de coquillage ou 200 g d’os ".

a)  Quelle est, en becquerel, l’activité des 200 g d’os d’un être mort récemment ?

b)  Quel est le nombre de noyaux radioactifs présents dans cet échantillon ?

c)  Quel est le rapport N () / N () dans cet échantillon ?

Données :

 La masse molaire atomique de l’élément carbone, constitué très majoritairement de carbone 12, est égale à 12,0 g.mol ^{– 1} .

 Le nombre d’Avogadro N_A = 6,02´10²³ mol^{– 1}.